Soal Matematika Informatika Struktur Aljabar

1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P berbentuk ring ?

A. Asosiatif       C. Komutatif
B. Distributif     D. A,B,C Benar


Penyelesaian :
P = {3x|x ∈ Z }

• Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.
  
  a+b = b+a
  3+6 = 6+3
  9 = 9

• Langkah kedua kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi perkalian.
  
  a.b = b.a
  3.6 = 6.3
  18 = 18
  
  Jadi P adalah komutatif.

2. Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ..... macam

a. 1
b. 2
c. 3
d. 4

Penyelesaian : ada 4 macam sistem aljabar pada struktur aljabar yaitu :
Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup

3. Dibawah ini adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi,kecuali...

a. Grup
b. Monoid
c. Polaroid
d. Grupoid

Penyelesaian : Hanya ada Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup dalam Struktur aljabar.

4. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner :

A * B = A + B + AB
Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?

a. Grup
b. Semigrup
c. Grupoid
d. Monoid

Penyelesaian :

1. Tertutup
Ambil sebarang A, B € N, karena A, B € N, dan AB € N maka
A * B = A + B + AB € N.
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
2. Assosiatif
Ambil sebarang A, B, C € N, maka
(A * B) * C = (A + B + AB) * C = (A + B + AB) + C + (A + B + AB) C = A + B + AB + C + AC + BC + ABC
A * (B * C) = A * (B + C + BC) = A + (B + C + BC) + A (B + C + BC) = A + B + C + BC + AB + AC + ABC
Maka untuk setiap A, B, C € N berlaku
(A * B) * C = A * (B * C).
Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.


5. Dalam sebarang group berlaku sifat-sifat berikut, kecuali :

a. Hukum kanselasi kiri : jika ax=ay maka x=y
b. Hukum kanselasi kanan : jika xa=ya maka x=y
c. Hukum kanselasi kiri : jika xa=ya maka x=y
d. Jawaban a dan b benar

Penyelesaian :
Diberikan ax = ay.
Karena G grup dan a єG maka terdapat a-1 sehingga aa-1 = a-1a = e dengan e identitas.
Akibatnya :
a-1(ax) = a-1(ay)
dan dengan menggunakan hukum asosiatif didapat :
(a-1a)x = (a-1a)y
Dan dengan hukum invers didapat :
ex = ey
dan dengan hukum identitas didapat :
x = y

6. Perhatikan himpunan integer Z = {...,-I,O,I,2,...}.Tentukan apakah operasi berikut pada Z adalah asosiatif penjumlahan, pengurangan, perkalian?

a. YA,YA,YA
b. YA,TIDAK,TIDAK
c. TIDAK,YA,YA
d. YA,TIDAK,YA
e. TIDAK,TIDAK,TIDAK

Penjelasan:
(a) Ya, karena (a+b)+c=a+(b+c) untuk sembarang integer a, b, dan c.
(b) Tidak. Sebagai contoh,(12-6)-2=4 tetapi 12-(6-2)=8. Di sini (12-6)-2
:I: 12-(6-2).
(c) Ya, karena (ab)c =a(bc) untuk sembarang integer a, b, dan c.


7. Suatu Semigrup yang memiliki elemen identitas disebut….

a. Semigrup Abelian    c. Monoid
b. Subgrup                  d. Grup

Penjelasan :
Syarat dari Monoid adalah :
a. Himpunan S tertutup dibawah operasi *
b. Operasi * bersifat asosiatif
c. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *


8. Suatu Monoid yang memiliki elemen invers disebut….

a. Semigrup      c. Grup
b. Subgrup       d. Semigrup Abelian

Penjelasan :
Syarat Dari Grup adalah :
a. Himpunan S tertutup dibawah operasi *
b. Operasi * bersifat asosiatif
c. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *
d. Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *

9. Dalam Sistem aljabar terdapat jenis himpunan Grup, dibawah ini terdapat syarat-syarat himpunan grup, kecuali ?

a. Himpunan tertutup dibawah suatu operasi
b. Operasi bersifat asosiatif
c. Tidak terdapat elemen identitas
d. Setiap anggota himpunan memiliki invers untuk operasi

Syarat Dari Grup adalah :

a. Himpunan S tertutup dibawah operasi *
b. Operasi * bersifat asosiatif
c. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *
d. Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *


10. Operasi * pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S berlaku ?

a. a*b = b*a                    c. a dan b benar
b. (a*b)*c = a*(b*c)       d. a dan b salah

Penjelasan :
Rumus dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)